דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא ע"פ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!!

Transcript

1 דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה פונקצית תמסורת : Y( s) G X ( s) הגדרות בסיסיות : סדר של פונקצית תמסורת סדר הפולינום במכנה (החזקה הכי גבוהה של פולינום המכנה). אפסים- שורשים של פולינום המונה. קטבים שורשים של פולינום המכנה. משוואה אופיינית השוואה לאפס של מכנה פונקצית התמסורת. LimG s הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא ע"פ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!!) : ( ) [ i ] ( ) [ i ] Y Lim sy Y Lim sy s Y ia s עבור אות כניסה ) ( i xt Aut פונקצית תמסורת של מערכת בחוג סגור ערך סופי של אות המוצא מוגדר ע"י : C s s G( s) + G s H s פונקציות תמסורת סטנדרטיות ss G( s) +τ פיגור מסדר ראשון : - קבוע זמן, כאשר: - ss הגבר סטטי של המערכת ) t τ- הזמן שלוקח למוצא המערכת להגיע ל- 63% מהערך הסופי). G( s) ss ( + τ)( + τ ) τ [ sc] 5τ -ttig tim פיגורים מסדר ראשון מחוברים בטור: : xt Aut i i i + i( + τ)( + τ ) τ τ τ τ t t A ss τ τ τ τ Y s yt A C( s) b i G( s) ( s) ξ + r sc, ss b כאשר אות הכניסה הוא פיגור מסדר שני : - הגבר סטטי של המערכת - מקדם הריסון של המערכת (גודל חסר מימד ). - תדר טבעי של המערכת, + ξ + ξ משוואה אופיינית :

2 θ rccos( ξ ) לשים לב טוב שמחשבים ברדיאנים ולא במעלות M o T T Y Yss ξ % % Y ss πiξ ξ T r π θ π ξ + M % l o % קשרים בין פרמטרים במערכת מסדר שני.5 T π 4 Ts ξ i Mשגיאת o המערכת Pשגיאה o באחוזים קריטריון outh משוואה אופיינית נתונה ע"י + GH : B GH + GH B+ אם ידועה פונקצית תמסורת בחוג פתוח GH אז משוואה אופיינית נתונה ע"י : C C תנאי הכרחי המשוואה האופיינית חייבת להיות מלאה וכל המקדמים חיוביים אחרת המערכת לא יציבה. טבלת : outh A A A A 3 A 4 A 5 מקדמי הפולינום במקומות זוגיים מקדמי הפולינום במקומות אי -זוגיים. C D C D C 3 D 3 A CiA3 AiC D C C AiA AiA 3 A CiA5 AiC 3 AiA 4 AiA 5 D C C A תנאי מספיק עבור יציבות המערכת מע' תהייה יציבה כאשר כל המקדמים בעמודה הראשונה חיוביים.אם אחד המקדמים הוא אפס והשאר חיוביים זה מצב של סף יציבות. הגדרות ומושגים כלליים לגבי בדיקת יציבות מערכת יציבות- סדר שני- הכרחי מספיק שהמקדמים חיוביים. כלומר הקטבים שליליים. מסדר שלישי ומעלה הכרחי שהמקדמים חיוביים אך לא מספיק. עמודת ראוט- כל העמודה חיובית- מערכת יציבה מספר החלפות סימן ככמות מספר השורשים החיוביים- לא יציב. אפס בעמודת ראוט- כלומר או גבול היציבות או לא יציב. אם מעל האפס ומתחתיו יש אותו סימן אז לפולינום זוג קטבים על הציר המדומה. אם הסימנים שונים זה מעיד על חילוף סימן- אי יציבות. מחליפים באפסילון וממשיכים לפתור. שורת אפסים בעמודת ראוט- יוצרים פולינום חזקות שהחזקה הגבוהה ביותר היא בחזקת מקדם השורה שמעל שורת האפסים. וקבועיו הם הקבועים של השורה שמעל שורת האפסים. (יש ירידה של חזקות לכל איבר). גוזרים את הפולינום לפי, מחליפים את שורת האפסים במקדמי הפולינום שנוצר וממשיכים.

3 3 עזרים מתמטיים t t t t jθ jθ jθ + + cosh( t) sih( t) cosθ siθ j j ( עם כניסת מדרגה בגובה יחידה: jθ ).. קשרי אוילר : מציאת הגבר סטטי.. lim ( yt ) lim s Y lim s G lim G t מציאת קבוע הזמן ) τ), מציבים 3 נקודות מגרף נתון ועושים ממוצע בין התוצאות t τ שמתקבלות: Y.. y() l Y.. yt התמרות לפלס של כניסות שונות תיאור הפונקציה כתלות בזמן t< t t סוגי כניסות מדרגה ריצה/מהירות פונקצית הלם של דיראק התמרת לפלס של הפונקציה (δ ( t) ) L{ f '( t)} s F f () L f t s F s f f { ''} () '() התמרת נגזרות : בעיות מיכלים : בעיות חום : בעיות לחץ:

4 4 שגיאות עקיבה אחוז שגיאה במצב מתמיד שגיאה במצב מתמיד קבוע שגיאה כניסה הצגה פרמטרית סוג כניסה כניסת מדרגה (מיקום) r ( t) limg s OL ( s) ss + ss % % + )r כניסת ריצה t) t v s lim G OL ( s) vss v vss % % v כניסת תאוצה r( t) t s lim G OL ( s) ss ss % % TYPE תאוצה ריצה/מהירות מדרגה + Π T T Π Π ξ Π T T Π s r( s) c( s) Π ξ דיוק וחישוב שגיאות שגיאת המערכת מוגדרת כ : השגיאה במצב מתמיד. כאשר אין צורך לדעת את השגיאה הרגעית אלא את [ ] [ ] ( ) Lim t Lim ie ss t s מערכת עם משוב יחידה : חישוב באופן ישיר: C ( ) Lim[ ie ] Lim Lim ( s) ( s) s s i + G( s) s i כאשר : r( t) * t 3 - ( r( t) * t - גודל השיפוע ) Lim [ ig( s)] Lim [ ig( s)] s V s - גובה המדרגה LimG [ ( s)] שיטות להקטנת השגיאה :. הגדלת סוג המערכת (הוספת אינטגרטורים). לעלות ככול שניתן את מקדמי השגיאה ע"י העלאת ההגבר. C ( ) Lim ( s) ( s) א. מערכת עם משוב לא יחידה : s i ניתן להשתמש בטבלת שגיאות רק לאחר הפיכת המערכת למערכת בעלת משוב יחידה. P s

5 C(s) 5 סוגי בקרים סוג בקר I אינטגרלי פרופורציונלי D דיפרנציאלי + PI P+ P+ P PID השפעת יחס הריסון על תכונות המערכת ξ > - ריסון יתר על קריטי- במקרה זה השורשים של המשוואה האופיינית הם ממשיים שלילים ושונים. ניתן לכתוב את פונקצית התמסורת כ שני פיגורים מסדר ראשון בטור. התגובה הדינאמית של המערכת היא ללא תנודות. < ξ > - ריסון נמוך תת קריטי- במרה זה השורשים הם מרוכבים וצמודים מצד שמאל של הציר המדומה. התגובה הדינאמית היא עם תנודות מתרסנות. ξ- ריסון קריטי, שורשי המכנה ממשיים וזהים, והתגובה תהיה אקספוננמיאלית דואכת ומהירה. ξ- מערכת ללא ריסון- שורשים מרוכבים ללא חלק ממשי תגובת si cos שלא דועכת. להוסיף y(t) לכל זטה. T זמן המחזור של התנודות, T זמן השיא הראשון, T r ה זמן עד הפעם הראשונה שאות המוצא מגיעה לערך הסופי,.ttig tim -T s

6 6 הגדרות ריסון